V mnoha případech dynamických systémů nelze měřit všechny stavové veličiny (náklady, neexistence vhodných čidel, ...) a je nutné stavové veličiny určit na základě znalosti modelu řízeného systému a měřením vstupních a výstupních veličin. Pro získání aktuálního stavu ve všech časových okamžicích používáme tzv. rekonstruktor stavu.
Jedná se o rekurzivní algoritmus, který je implementován v podobě dynamického systému. Existuje více druhů rekonstruktorů stavu. Nyní si ukážeme první z nich.
$$\begin{array}{lcr}\dot{x}(t) = Ax(t) + bu(t)\\
y(t) = c^Tx(t)\end{array}$$
kde $x(t_0), x(t)\in\mathbb{R}^n$ jsou měřitelné $u(t),y(t)\in\mathbb{R}^1$
Měřený vstup $u(t)$ a výstup $y(t)$ je přivedem do zatím nespecifikovaného rekonstruktoru stavu. Výstupem rekonstruktoru by měl být rekonstruovaný stav, který si označíme jako $\widehat{x}$.
Nyní musíme najít odpověď na následující otázky:
Rekonstruktor můžeme tedy formálně zapsat pomocí dynamického modelu:
$$\begin{array}{rcl}\dot{\widehat{x}}(t) & = & F\widehat{x}(t) + gu(t)+\kappa y(t),\\\widehat{y}(t) & = & c^T\widehat{x}(t)\end{array}$$
Zvolíme-li $\mathrm{dim\,}\widehat{x}(t) = \mathrm{dim\,}x(t)=n$, pak mluvíme o úplném rekonstruktoru stavu, v opačném případě, kdy je $\mathrm{dim\,}\widehat{x}(t) < \mathrm{dim\,}x(t)$ mluvíme o redukovaném rekonstruktoru stavu.
$$ \lim_{t\to\infty}\varepsilon(t)=\lim_{t\to\infty}\widehat{x} - \lim_{t\to\infty}x(t) = 0 $$
Časový vývoj chyby rekonstrukce dostaneme po její formální časové derivaci a dosazení rovnice systému a rekonstruktoru
$$ \dot{\varepsilon}(t)=\dot{\widehat{x}}(t)-\dot{x}(t)=F\widehat{x}(t)+gu(t)+\kappa y(t)-Ax(t)-bu(t)+Fx(t)-Fx(t) $$
Po úpravě vidíme, že chybu rekonstrukce generuje finktivní dynamický systém
$$\dot{\varepsilon}(t) = F\varepsilon(t)+(F-A+\kappa c^T)x(t)+(g-b)u(t)$$
Požadavky na rekonstruovaný stav z 2. bodu jsou současně požadavky na chybu rekonstrukce. Požadovanou nezávilost rekonstruovaného stavu na vstupu $u(t)$ a stavu $x(t)$ zaručíme položením
$$ \begin{array}{rcl}(F-A+\kappa c^T) & = & 0\\ g-b & = & 0\end{array} $$
Musí tedy platit, že $F=A-\kappa c^T$ a $b=g$. Dynamický systém pro chybu rekonstrukce se tedy stává autonomním systémem, který reaguje pouze na nenulové počáteční podmínky. Tento systém musí být stabilní. Stabilita je dána umístěním pólů odpovídajícího charakteristického polynomu $\det(pI-A+\kappa c^T)$. Volbou požadovaného umístění pólů $p_i^*$ určíme matici $\kappa$.
$$ \det(pI-A+\kappa c^T) = \prod_{i=1}^n(p-p_i^*) $$
Jedná se o rekurzivní algoritmus, který je implementován v podobě dynamického systému. Existuje více druhů rekonstruktorů stavu. Nyní si ukážeme první z nich.
Lineární spojitý asymptotický rekonstruktor stavu
Předpokládejme, že je dán stavový model řízeného spojitého, pozorovatelného systému $S$$$\begin{array}{lcr}\dot{x}(t) = Ax(t) + bu(t)\\
y(t) = c^Tx(t)\end{array}$$
kde $x(t_0), x(t)\in\mathbb{R}^n$ jsou měřitelné $u(t),y(t)\in\mathbb{R}^1$
Měřený vstup $u(t)$ a výstup $y(t)$ je přivedem do zatím nespecifikovaného rekonstruktoru stavu. Výstupem rekonstruktoru by měl být rekonstruovaný stav, který si označíme jako $\widehat{x}$.
Nyní musíme najít odpověď na následující otázky:
- Jakou strukturu by měl mít rekostruktor?
- Jaké vlastnosti by měl mít rekonstruovaný stav $\widehat{x}(t)$
- Jak navrhnout parametry rekonstruktoru?
Struktura rekonstruktoru
Rekonstruktor stavu je dynamický systém, na jehož vstup je přiveden měřitelný vstup $u(t)$ a výstup $y(t)$ a výstupem rekonstruktoru je rekonstruovaný stav $\widehat{x}(t)$, resp. rekonstruovaný výstup $\widehat{y}(t)=c^T\widehat{x}(t)$.Rekonstruktor můžeme tedy formálně zapsat pomocí dynamického modelu:
$$\begin{array}{rcl}\dot{\widehat{x}}(t) & = & F\widehat{x}(t) + gu(t)+\kappa y(t),\\\widehat{y}(t) & = & c^T\widehat{x}(t)\end{array}$$
Zvolíme-li $\mathrm{dim\,}\widehat{x}(t) = \mathrm{dim\,}x(t)=n$, pak mluvíme o úplném rekonstruktoru stavu, v opačném případě, kdy je $\mathrm{dim\,}\widehat{x}(t) < \mathrm{dim\,}x(t)$ mluvíme o redukovaném rekonstruktoru stavu.
Vlastnosti rekonstruovaného stavu
Rekonstruovaný stav $\widehat{x}(t)$ by měl konvergovat ke skutečnému stavu $x(t)$ a neměl by záviset na vstupu $u(t)$ a $y(t)$ od řízeného systému $S$.Určení parametrů rekonstruktoru
Definujeme chybu rekonstrukce $\varepsilon(t)=\widehat{x}(t)-x(t)$. Pro návrh úplného asymptotického reonstruktoru stavu musíme požadovat, aby$$ \lim_{t\to\infty}\varepsilon(t)=\lim_{t\to\infty}\widehat{x} - \lim_{t\to\infty}x(t) = 0 $$
Časový vývoj chyby rekonstrukce dostaneme po její formální časové derivaci a dosazení rovnice systému a rekonstruktoru
$$ \dot{\varepsilon}(t)=\dot{\widehat{x}}(t)-\dot{x}(t)=F\widehat{x}(t)+gu(t)+\kappa y(t)-Ax(t)-bu(t)+Fx(t)-Fx(t) $$
Po úpravě vidíme, že chybu rekonstrukce generuje finktivní dynamický systém
$$\dot{\varepsilon}(t) = F\varepsilon(t)+(F-A+\kappa c^T)x(t)+(g-b)u(t)$$
Požadavky na rekonstruovaný stav z 2. bodu jsou současně požadavky na chybu rekonstrukce. Požadovanou nezávilost rekonstruovaného stavu na vstupu $u(t)$ a stavu $x(t)$ zaručíme položením
$$ \begin{array}{rcl}(F-A+\kappa c^T) & = & 0\\ g-b & = & 0\end{array} $$
Musí tedy platit, že $F=A-\kappa c^T$ a $b=g$. Dynamický systém pro chybu rekonstrukce se tedy stává autonomním systémem, který reaguje pouze na nenulové počáteční podmínky. Tento systém musí být stabilní. Stabilita je dána umístěním pólů odpovídajícího charakteristického polynomu $\det(pI-A+\kappa c^T)$. Volbou požadovaného umístění pólů $p_i^*$ určíme matici $\kappa$.
$$ \det(pI-A+\kappa c^T) = \prod_{i=1}^n(p-p_i^*) $$
Žádné komentáře:
Okomentovat